Γεωμετρική Πιθανότητα

Περιγραφή πειράματος
Θεωρούμε τετράγωνο πλευράς [b]α[/b] και το εγγεγραμμένο σε αυτό τεταρτοκύκλιο. Στη συνέχεια λαμβάνουμε, με τυχαίο τρόπο, [b]ν[/b] σημεία εντός του τετραγώνου. Μετράμε ξεχωριστά το πλήθος [b]μ[/b] των σημείων που βρίσκονται εντός του τεταρτοκύκλιου (μοβ χρώμα) και υπολογίζουμε τον λόγο [b]4[/b] [b]μ / ν[/b] .[br][br]Στην προσομοίωση που ακολουθεί έχουμε δυνατότητα επιλογής[br][br][list][*]του μήκους της πλευράς [b]α[/b] σείροντας το μοβ σημείο[/*][*]του πλήθους [b]ν[/b] των τυχαίων σημείων με τη βοήθεια του γαλάζιου δρομέα[/*][/list][br]Με τον γαλάζιο δρομέα επιλέγουμε διαφορετικά [b]ν[/b] και παρατηρούμε, εκτός των άλλων, το ίχνος ενός σημείου κόκκινου χρώματος στο πάνω μέρος του καμβά. Η τεταγμένη αυτού του σημείου ισούται με τον εκάστοτε λόγο [b]4 μ /ν[/b]. Μετά από αρκετές επιλογές (σε όλο το εύρος διακύμανσης του [b]ν[/b]) δημιουργείται ένα διάστικτο κόκκινο αποτύπωμα που στενεύει προς την περιοχή του μέγιστου [b]ν[/b]. Μετακινούμε τα κόκκινα σημεία στον άξονα y έτσι, ώστε οι ευθείες που τα ακολουθούν να περικλείσουν το δεξί (στενό) μέρος του αποτυπώματος.[br]
Προσομοιώση
Ερωτήσεις
[b]1)[/b] Καθώς μεγαλώνει το πλήθος των τυχαίων σημείων, ο λόγος που αναγράφεται στο πάνω μέρος του καμβά παρουσιάζει όλο και μικρότερη διακύμανση. Μπορείτε να εικάσετε σε ποιόν περίφημο αριθμό πλησιάζει καθώς αυξάνει το ν ;
[b]2)[/b] Προσπαθήστε να αιτιολογήσετε την εικασία σας.[br][br][Υπόδειξη : Από τον Νόμο των μεγάλων αριθμών, ο λόγος του πλήθους των σημείων μ / ν θα πλησιάζει τον λόγο των αντίστοιχων εμβαδών.]

Information: Γεωμετρική Πιθανότητα